中学生でも解けちゃう “数学オリンピック”の図形問題

中学生でも解けちゃう “数学オリンピック”の図形問題

皆さん、こんにちは。スターディの高野 ゲトです。今回やっていくのはですね、 この面白い図形問題。長方形の中に性角形 があって、赤い部分と青い部分の面積が それぞれ2023の時、この性角形の面積 は何ですかと。この問題はですね、高校生 が挑戦する数学オリンピックの問題なん ですけど、実は中学生も解けるし、なん なら中学生に是非溶けて欲しい問題でも あるんですね。今回の解説を聞いて もらえれば、きっと図形問題はセンスが 必要だと思っていたけれども、実は再現性 を持って解くことができるんだと。ま、僕 自身ね、普段の高の塾の授業でもその再現 性っていうのを本当に大切にしてる、ま、 そのね、返間見えると思うので、是非最後 まで見てこの図形問題の面白さっていうの を味わい尽くしてもらえたらいいなと思い ます。苦手は春に残さない。高の塾冬の 20%オフキャンペーン開催中。では早速 問題を見ていくと、まずですね、この問題 を見た時に考えて欲しいことっていうのは 全ての条件っていうのをどういう風に 使い尽くすかですね。まずこの面積 2023、そして性角形っていう条件は 絶対使うわけじゃないですか。その上で ですね。うん。この青い面積が23 なかなかね、いびな形で条件使いにくい なっていう風に思うわけですよ。そこでポ イントっていうのが はい、ポイント使いやすい形に落とし込ん でいくと、ま、その代表格が三角形になり ます。つまりこの形をですね、三角形に 落とし込んでいくと、例えばこのように ピッと補助線を引く、あるいはこのように Pとね、補助線を引くことによって、この 三角形からこの三角形を引くことによって 面積は23っていう風に考えることができ ますよね。ここでこの補助線っていうのは 正角形の中のね、直線なので今一度ね、 正六角形について確認しておきましょう。 ま、このね、正角形っていうのもそのまま 考えるのは難しいので、ま、このようにね 、6つの正三角形の集合体っていう風に 考えてあげます。そうすると、ま、この ようにね、ピーっと引いた時にどういう ことが分かるかというと、はい、この 三角形に着目することによって、ま、ここ が60°で、この必死型をね、半分に パカッと割ってあげてるわけだから、ここ が30°で、ここが直角と、つまり1対2 対√3の直角三角形になってるんだという ことが分かるわけですね。これを先ほどの ね、図形に当てはめて考えてあげると、 正角形のこの対角線を引くことによって、 ここの部分の角度が直角、そしてここの長 さの日が1対√3だということが分かる わけですね。で、その上で次の一手なん ですけど、ここでね、止まってしまう方 多いんじゃないかなっていう風に思います 。ここで皆さんにね、是非思い出して 欲しいことっていうのは図形問題で詰まっ た時、掃除を探してみようっていうことな んですね。 はい。図形で詰まったら角度を追いかけて 掃除を探すベト。これは是非ね、押えとい てください。はい。角度を追いかけてい くっていうのがポイントです。今回の場合 、ここは直角っていうことが分かってる わけなんですけど、他にはね、この外側の 部分が長方形なわけだから、ここもここも 全部直角なわけですよ。ここでこの2つの 三角形に注目していきます。今これをね、 横に倒したものをこのように表してあげる と、今このね、2つの直角三角形がある わけじゃないですか?今この角度を丸バツ みたいに表してあげた場合、丸+バツは 90°です。 そうすると今度はここに着目してあげると はい、丸+直角+なんとかが180°結局 丸+バツは90°であるからここもバツだ ということが分かると。ま、ここがね丸に なって結局この2つのね、え、直角三角形 っていうのは掃除だということが分かる わけですね。このね、2つの直角三角形が 掃除っていうのはよく出てくる形なんです よ。このようにですね、よく出てくる掃除 っていうのはもう形はある程度覚えちゃっ た方が早いです。 はい。ま、よく出てくる掃除はですね、ま 、徹底基礎講座でもね、まとめてはいます が、ま、皆さんがね、代表的に見るものは この平直線 があった時にこの2つの三角形掃除だよね などはよく出てくる形ですよね。こういっ たものをしっかりと覚えてしまえば、今回 のね、図形見た時に、お、ここ直角、 そしてここ直角、ここ直角ということは この2つの三角形は掃除なんだと。そして 掃除費は1対√3つまり面積はその2乗 ですね。つまりこれを計算して1対3と いうことが分かるわけです。そうすると 赤い三角形の面積が20ということはこの 下側のね、え、三角形の面積がその3倍で 60ということが分かるので、そっから 23を引くことによってこの緑のね面積 っていうのが37という風に求めることが できるわけです。ここまでくればあともう 1歩ですね。今求めたいのは正六角形の 面積でこの緑のね三角形との関係を考えて いきたい。さっきのね、図形を用いて考え てみると、今ここの部分の面積っていうの が正形の面積の何のいくつかっていうのを 考えたいわけですよね。正六角形の面積 っていうのは正三角形6つ分でこの青い 部分っていうのは2つ分の半分なので結局 正三角形の面積1つ分つまりこの青い部分 の面積ってのは正六角形の面積の1/6だ ということが分かるわけです。従がって ここの部分の面積は37の場合、正六角形 の面積っていうのはそれを6倍して上げて 37×6で222という風に求めることが できるわけです。ま、今回はですね、中学 生でも解ける数学オリンピックの問題解説 してきたんですけど、どういう条件があっ て、どういうパターンを抑えていけば再現 性を持って解くことができるのかっていう のを理解してもらえたんじゃないかなと 思います。ま、今回みたいな図系問題に 限らず、数学の全ての単元において再現性 を意識してね、解放を考えていくことに よって皆さんの数学力っていうのは 見るみる伸びていきます。ま、高野塾の 徹底基礎講座ではこの再現性っていうのを 徹底的に追求した解説をしていますので、 是非ね、気になる方は概要欄の方から チェックしてみてください。ということで 、また次回の動画でお会いしましょう。

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『神脳・教育界の革命家　河野玄斗』
東大医学部在学中に司法試験に一発合格。
河野塾代表。頭脳王3度優勝。
医師国家試験、公認会計士試験にも合格し、三大国家資格を制覇する『トリプルライセンサー』に。
初書籍『シンプルな勉強法』は世界でも翻訳され、シリーズの累計12万部突破。

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